わり算の教え方

小学３年の４月に習う「わり算」。

「なんか難しいことを習うのかなぁ…」と緊張感を抱く子どもたち。お母さんも｢うちの子、わり算でつまずかないかしら？」とちょっと心配になったりしますよね。

わり算に対してはどうしても 難しい計算 という印象を持ってしまいます。ではなぜ「わり算」は難しいのでしょう…。

それからわり算の計算は、かけ算、ひき算、たし算 を全て使わなければならない という複雑さがあります。ケタ数が大きくなると大人だってウンザリしますね。途中で何算をしているのかわからなくなる子どもも多いです。たし算・ひき算・かけ算のどれかが不十分な子どもであれば相当シンドイということも想像がつきます。

また、わり算の計算では九九を使いながら近い答えを探すという 試行錯誤 が必要になります。一度立ててみた答えが大きすぎたり小さすぎたりしたら消してやり直すこともありますね。一回で答えが見つかるとは限らずとても面倒です。それに割り切れればスッキリするけれど、やっかいなことに 余りが出る場合もある ので いっそう答えが見つけにくいのです。

わり算は「分ける」という行動から生まれました。初めてわり算を勉強する子には、｢分ける｣という作業を体験させて説明するのが良いと思います。

ただ分ければ良いわけではありません。同じに分ける、分けられるところまで分ける、ということが算数の｢わり算｣にとってたいへん重要です。

わり算 は 同じずつ分けられるところまで分ける計算 です。

そしてわり算の式は

「全体の数÷いくつ分＝１あたりの数」 で表します。

では、具体的に分ける場面を設定して、わり算を教えてみましょう。

キャラメルが１２個あります。子どもは４人います。ケンカにならないように同じ数ずつ分けます。１つずつ配っていくと１人あたり３こもらえます。これが 「１あたりの数」を求めるわり算 です。

もしお家でお子さんにわり算を教えるならチョコやキャラメルなどを使って同じずつ分けられるところまで分けてみてはいかがでしょう。「１人何個かな？」という時、自分の目の前にキャラメルが３個くると「わり算の答えってこれか！」と実感でわかりますよね。学校ではお菓子を使うことはできないけど、家庭でならこんな算数体験が良いかもしれません。

１２個のキャラメルを４人で分けるとき、１個ずつ配っていくという操作をします。

今度はタイルでも配るという操作をして、これを「わり算の式」に表すようにします。

わり算とは、同じずつ分けられるところまで分けて「１あたりの数」を求める計算でしたね。実はわり算にはもう一つの意味があります。

わり算は「いくつ分」を求める計算でもあります。全体の数と１あたりの数も分かっているとき、いくつ分を求めるためにはわり算をします。

そして、｢いくつ分｣を求めるわり算の式は

「全体の数÷１あたりの数＝いくつ分」 という式で表します。

１２このキャラメルを一人に４こずつあげます。何人の子にあげられますか？

３人ですね。

わり算は二つの意味があるので子どもたちにとって難しいのです。

算数の教科書では「１あたりの数」を求めるわり算が出てきてすぐに｢いくつ分｣を求めるわり算が出てきます。なので子どもたちも整理がつかないまま、問題がごちゃ混ぜに出てきてわからなくなる…というわけです。

水道方式の指導では、「１あたりの数を求めるわり算」をわり算の基本と考え、先に学習します。そしてわり算の意味がしっかり定着し、計算の手順に慣れてきた後で、｢いくつ分を求めるわり算｣を指導しています。ちなみに、数学で育ちあう会のわり算教材では、４ケタ÷１ケタの計算を学習した後で指導しています。

では、わり算の二つの意味を整理しておきましょう。（数学で育ちあう会 Ｆ教材より）

現在の小学校算数では、わり算のタテ書きの計算＝「筆算」 が出てくるのは４年生です。「７２÷３」のように答えが２ケタになる計算でようやく筆算を取り入れています。

３年生の教科書では商（わり算の答）が２ケタになる「４０÷４＝１０」のようなものや、余りの出るわり算、例えば「１９÷４＝４あまり３」なども出てきます。でも筆算を教えないため横書きの式で計算させています。余りを出す場合は頭の中で「１９－１６」のひき算をすることになり、ちょっと大変です。

私たちは１ケタで割る段階から筆算を取り入れるべきだと考えます。筆算ならケタ数がどんなに増えても同じ計算の手順でできる からです。

わり算の筆算は、予想をつけて商を たてる → かける → ひく という手順で行います。

ところで、教科書が扱っていない基礎的なわり算があります。「３÷５＝０あまり３」のような商が０で余りが出るわり算は単独では全く出てきません。これらは必要ないと考えられているようです。

けれど、後に出てくる「５３÷５」や「５３５÷５」などの筆算では「３÷５＝０あまり３」の計算が必要になってきます。子どもたちは戸惑ってしまい、次のような間違いがよく見受けられます。

私たちは「３÷５＝０あまり３」もわり算の基礎の一つと考え、次のような例題で指導しています。

このとき、もし７本をバラタイルにくずしてから７６このタイルを３人に配り出すと大変手間がかかります。先に７本のタイルを配ったほうがずっと楽ですね。「わり算は大きい方の位から計算する」理由 がここにあります。たし算、ひき算、かけ算はみんな一の位から順に計算してきましたが、わり算だけは逆からのほうが合理的なわけです。

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このままでは１本のタイルが配れないので、１０このバラタイルにくずします。

１６こは３人で分けると５こずつ配れるので、

商に５をたてます。 たてる

３人に５こずつ配ったので、３×５こ＝１５こ　…かける

１６こから１５こをひくので、１６こ－１５こ＝１こ　…ひく

これ以上は分けられないので終了。

７６÷３＝２５ あまり １

こたえ　１人２５枚 あまり１枚

４年生のわり算では、「÷２ケタ」が出てきて一段と難しくなります。

ケタ数が増えて難しいのは、商（わり算の答）の立つ位置がどこかがわからなくなること。そして、どれくらいの商を立てたら良いのかが見つけにくくなることです。

実はここでつまずく子どもが大勢います。問題の型分けをしてていねいにステップを踏んでいかないとわり算が苦手になってしまいます。でもきちんと系統的に学習すれば、わり算の計算の心地よさが好きになり算数に自信がつく子も多いのです。また、わり算がしっかり習熟できていると、小数のかけ算、わり算もそれほど難しくはないでしょう。

では、「水道方式」ではどのような方法でわり算の筆算を教えているかを一部、ご紹介しましょう。

商の立つ位置を決めるには、「指かくしの術」 を使います。

わられる数の最も大きい位に注目させるため、右側の位を指で隠しておきます。そして分けられるならば○、分けられなければ×をし、さらに右隣の位まで指をずらしていきます。こうして始めに商が何ケタになるかを決定します。

÷２ケタも同じです。商の立つ位置を 「指かくしの術」で決定します。

ここでもタイル配りで考えてみましょう。３枚のタイルは２５に分けられないから「３８本」に直して分けることになります。

わり算には二つの意味があることは前に説明しました。

一つは、「全体の数÷いくつ分＝１あたりの数」　で、これを難しい言葉で「等分除」(とうぶんじょ）と言います。

もう一つは、「全体の数÷１あたりの数＝いくつ分」　で、こちらは「包含除」(ほうがんじょ）と言います。

同じわり算でも求める答が違います。この違いはタイルで考えると次のようになりました。

さて、わり算は、「全体の数÷いくつ分＝１あたりの数」　と、「全体の数÷１あたりの数＝いくつ分」　の２つがあると説明しましたが、これを見ると、わり算はかけ算と深い関わりを持つ演算だということがよくわかります。

かけ算　とは、

１あたりの数 と いくつ分 がわかっていて 全体の数 を出す計算です。

　「１あたりの数 × いくつ分 ＝ 全体の数」 　という式で表します。

タイル図を見てわかるように、「１あたりの数」と「いくつ分」と「全体の数」の三つの関係から、どれを求めるかによって、かけ算を使うのか、わり算を使うのか、が決まってきます。

このようなタイル図を発展させたものを「かけわり図」と呼んでいます。文章題を解くときにタイル図や「かけわり図」がイメージできれば式が立てやすくなります。