たし算とひき算の教え方‐１

「たしざん・ひきざん」を「水道方式」ではどのように教えていくのか、教材や資料を例にあげて紹介していきます。

①たし算・ひき算ってどんな時に使うの？

★たし算・ひき算の意味

０～９（または０～５）までの「数」がわかると、この範囲でのたし算・ひき算ができますね。

ところで、たし算って　どういうときにする（できる）でしょう？

次の①～⑩番の問題を　ちょっと考えてみてください。

● たせるかな？　たせないかな？

①　イヌ３びき　と　ネコ４ひき　で　なんびきですか？

②　バナナ３本　と　エンピツ２本　で　なん本ですか？

③　きんぎょ２ひき　と　さば５ひき　で　なんびきですか？

④　１００円　と　５００円　あわせていくらですか？

⑤　２ｍのひもと５ｍのひもを　つないだら　なんｍですか？

⑥　鉄のパイプ３本　と　アルミのパイプ５本　があります。パイプは　あわせて　なん本ですか？

⑦　３リットルの水と０.２リットルの水をあわせるとなんデシリットルですか？

⑧　石３こ　と　１円玉５こ　で　いくらですか？

⑨　１円玉５こ　と　５０円玉８こ　で　あわせていくらになりますか？

⑩　５リットルの水の中に３ｍのひもを入れるといくらになるでしょう？

いかがですか？　全問、素直に「たし算」ができましたか？　なんだか変…？？　という問題も　かなりありましたよね。

①は、「３＋４＝７　　答　７ひき」とはしたものの、イヌとネコはたしていいのかな？…と迷います。もし、「動物は　あわせて　なんびきですか？」と　問われていたらわかりやすいのに。

②は、「３＋２＝５　　答　５本」と出したとしても、この｢５本｣とはいったい何の数なのでしょう…。「たし算」を初めて習う子どもたちなら、もっと迷うにちがいありません。反対に、平気で「５本」と答えてしまうと、ほんとうにたし算がわかっているわけではないなぁと思ったほうが良さそうです。

子どもにたし算を教えるとき、「こんな方法もあるよ」｢これもたしざんなんだよ」とあれこれ一度に教えてしまうと頭の中がゴチャゴチャになってしまいます。

はじめて習うところは、まず基本の考えをしっかり定着させたいものです。

例えば「３＋２」とは何かを教える場合、まず最初は、

同じものどうしでたし算ができるということを押さえます。

初めは具体物を使って実際にやってみせたり、子どもたちにも「たし算」の体験をさせてみてください。その場合、もしアメで教えようと思ったら包装紙も同じ色のアメにしましょう。最初は厳密に同じものどうしにします。

あわせた数を出すのがたし算です。

次のように、①→②→③→④の順番で、たし算を学んでいきます。

① では実際に２こと１このアメを「あわせる」操作をやってみせます。

② ではアメをタイルに置き換えてあわせてみせます。

③ ではたし算の式を教えます。式とは「さんすうの言葉であらわす」ことです。

④ ではたし算の意味を確認します。

ひき算は、残った数を出す計算 です。

「アメが３こあります。２こたべました。のこりのアメはなんこですか。」のような問題からひき算を教えるとよいでしょう。最初にあった数から、［たべたり、あげたり、つかったり、なくしたり、にげたり、帰ったり］していくつか取り除き、その残りを求める場合にひき算を使います。

ひき算には他にもいろいろな意味があるのですが、上のような「残りを求める」ひき算が子どもたちに最もわかりやすく、操作がしやすいのです。

ひき算の場合も具体物から入って、タイル、式（さんすうの言葉であらわす）だけでできるようにしていきます。

常に「たし算（ひき算）ってどんな数を出すんだっけ？」と、たし算・ひき算の意味を聞いていくのがいいと思います。子どもたちには、今、自分が何をしているのか、何を求めているのかをいつも意識してほしいですね。

②練習順序

★たし算・ひき算の練習順序（和が９まで）

あわせた数をだすのが「たし算」 で残った数をだすのが「ひき算」でしたね。

ところで、たし算はどんなにケタ数が多くなったとしても、「１ケタ＋１ケタ」に分解することが出来ますね。このたし算の素になる１ケタどうしのたしざんのことをたし算の素過程（そかてい）と呼んでいます。

たし算の素過程は、０＋０　から　９＋９　まで　１００個あります。これはたし算のおおもとのおおもとなので、１つも欠かすことなく教えなければいけません。

そして、たし算の素過程の逆が、ひき算の素過程（そかてい）になります。こちらも欠かさず教えていきます。

ではまず、たして９までの「たし算」、つまり、くり上がりのないたし算について、どんな順序で学ぶと良いかを考えてみましょう。

水道方式では、タイル□を使ってたし算を学習していきます。タイル□は５個で「５」のタイルになります。「５」のタイルを使うことで５以上の数が一目でわかります。

２＋１ のタイプはどれだけあるでしょう。書き出してみると、１＋１，１＋２，１＋３，２＋１，２＋２，３＋１

です。これらの式になるような「あわせていくつかな？」という問題を最初にもってきてあげるといいですね。お子さんの大好きな物で楽しい問題を作ってあげてください！

他のタイプも同様に書き出していくと素過程を抜け落ちることなく学習できます。

たして９までのたし算（くり上がりなし）は、

①「５」のタイルを作るかどうか、と、

②「０」が含まれるかどうか、　　　

で型分けし、次のような順序で教えると良いでしょう。

ひき算（くり下がりなし）も、同様に型分けし、次のような順序で教えると良いでしょう。

４－１ のタイプはどれだけあるでしょう。書き出してみると、　４－１，４－２，４－３，３－１，３－２，２－１です。これらの式になるような「残りはいくつかな？」という問題を最初にもってきてあげましょう。

他のタイプも同様に書き出してみてください。

たし算、ひき算　共に　子どもたちには実際にタイル□ を操作させて結果を確かめながら計算を進めていきましょう。

さて次は「素過程」の中でも難しい「くり上がりのあるたし算」「くり下がりのあるひき算」です。

③くり上がり・くり下がりはタイルで！

★「１０」というまとまり～「１０」の合成･分解

私たちがふだん使っている数字は、「十進記数法（じっしんきすうほう）」といって、十集まれば次の位に一くり上がる仕組みです。「９」より１大きい数を１と０を並べて「１０」と書くのもそのためです。これによって０～９までの十個の数字だけでどんなに大きな数もどんなに小さな数もあらわせるのでたいへん便利な記数法です。

１０以上のものを数えるとき、１０ずつまとまりにして数えていくと便利であることはみなさんも経験ずみですね。また「１０」をつくるときに、例えば「６」と「４」の組み合わせや「７」と「３」の組み合わせというふうに、私たち大人はたやすく１０をつくるためのペアを探し当てることができます。

子どもたちにはこの「１０」の合成･分解が確実にできるように、タイルと数字で練習してもらいましょう。これが苦手だと、くり上がり・くり下がりの計算がスムーズにいきません。最後には、タイルがなくても数字だけですぐ答えられるくらいまでにしましょう。

＊「１０」の合成･分解には、『１０の合成分解タイル』を使おう！

「１０」をつくるための組み合わせは全部で５組あります。

この組み合わせを練習するために簡単な教具を作ってみませんか。

安価な材料でできて、子どもたちがクイズのようにして学べるので、１つ作っておくと重宝します。

タイルの材料は、木の立方体１０個と布製のガムテープ（できればきれいな色で）。接着用にボンド。あとはお子さんの好きなシール（なるべく同じシール５枚）など貼るとかわいいですよ。

★くり上がりのたし算（素過程）

では「１ケタ＋１ケタ」（素過程）のたし算で くり上がりのあるもの はどのように考えると良いでしょう。「くり上がり」には、「１０のかたまりを作る」という作業が必要です。

タイルで考えると、「１本」のタイルをつくるということになります。

※１個のタイル□が１０個集まると「１本」のタイルになります。数字の「１０」はタイルが１本と０個という意味です。

【タイルの仕組みについて】

８＋６の場合

８は５と３、６は５と１に分解できます。

タイルを置いて考えてみましょう。（下図）　「５」のタイルが両方にあるのでこれらをあわせて「１０をつくる」＝「１本のタイルをつくる」　ことができます。あとは残りのバラタイルをあわせて答えがでてきます。

このように両方に５のタイルが含まれていると、５と５で１０になるので簡単で理解しやすい方法です。

これと同じタイプは、９＋５、７＋７、８＋７　・・・　などがあります。最初はこのタイプをタイルで操作しながら練習していくと１０のかたまりを作ることが意識できて良いと思います。

９＋４の場合

９＋４のように、一方が５より小さい場合は、５と５で１０のかたまりが作れません。この型では「９にいくつたすと１０になるか（１０の補数）」を考えさせて答えをだすほうが簡単ですね。

９と１で１０が作れるので、４個のタイルから１個をもってくればすみます。あとはバラタイルが残り、すぐに答えがでてきます。

８＋３、７＋４　なども同じタイプです。

タイルで正しい答えを確かめながら、やがてはたし算の式だけでも答えが出せるまで練習します。たし算の素過程は確実にマスターさせましょう。

「１０の合成」が確実にできていると、「８＋６」のようなたしざんも１０の補数を考えるやり方で良いと思います。

＊「いちばんぼし算数数学教室」さんの動画をぜひご覧ください！

数学で育ちあう会の「いちばんぼし算数数学教室」さんが、いろいろな算数教材動画を製作しYouTubeへアップしています。

タイルの勉強や練習ができる動画もありますのでぜひご覧ください。

● いちばんぼし算数数学教室　YouTube

https://youtu.be/Pt6IpxY9A68?feature=shared

★くり下がりのひき算（素過程）

くり下がりのひき算は、多くの子どもたちがつまずくところです。苦手なまま学年が上がればケタ数が増えてゆきづまってしまうので、素過程のくり下がりは確実にしておきましょう。

ではひき算の素過程でくり下がりのあるものはどのように考えると良いでしょう。

「くり下がり」には、「１０のかたまりをくずす」という作業が必要です。

タイルで考えると、「１本」のタイルをバラバラにするということになります。

１３－９の場合

１３は１本のタイルと３個のバラタイルでできています。

一の位の３から９をひくことはできません。

そこで１本のタイルを１０個にくずします。１０個（５のタイルが１つ＋バラタイルが５個）から９個をとり、残り１個のタイルと３個とを合わせて答えがでてきます。

「１０の分解」が身についていると、この方法でスムーズにくり下がりが理解できるでしょう。

タイルで正しい答えを確かめながら、やがてはひき算の式だけでも答えが出せるまで練習します。ひき算の素過程も同じく確実にマスターさせましょう。

このようにくり上がり・くり下がりもタイルを使うと、計算の意味を考えながら計算力を習得できます。

たし算・ひき算の素過程（そかてい）は、算数学習にとって基礎中の基礎、これからの土台となっていくものなので、確実にしておきます。

最初は実物を使う、タイルを動かしてみる → タイルを置いてみる → タイルを書いてみる → タイル無しでやってみる、というように少しずつ段階を上げてくり返し学習したいところです。

大事なところはていねいにじっくりと！

④２ケタのたし算・ひき算

★『筆算』を早い段階で取り入れます

現在の小学校算数では、タテ書きの計算＝「筆算」が出てくるのは２年生からです。

でも私たちは、１ケタどうしのくり上がりやくり下がりが出てくる１年生から本来なら筆算を取り入れるべきだと考えます。そのほうが数の仕組みに合っているからです。

教科書においても、数が大きくなれば筆算に切り替えざるをえません。位をそろえなければ、たし算・ひき算ができなくなってしまうからです。それならば早い段階から十進法を意識して筆算を導入していくほうがずっと良いのです。「水道方式」では、位をそろえて書く「筆算」を重視します。

　ヨコ書き（暗算）の場合は、そろばんも同じなのですが上の位からたしていきます。筆算は数の仕組みにしたがって下の位から順にたしていきます。

★２ケタのたし算・ひき算

水道方式では、すべての計算問題を型分けします。

【たし算】

最初は２ケタ＋２ケタでくり上がりが無い型（例：２２＋２２）から導入し、各位どうしをたし算するという基本をおさえます。それができてから、「０」が入ったり（例：２２＋２０）、位が欠けているもの（例：２２＋２，２＋２２）を扱います。

そして次に、くり上がりのあるたし算です。各位をそろえ、下の位から順にたし算をしていきます。

タイルでやってみましょう。

37 + 26

【ひき算】

最初は２ケタ－２ケタでくり下がりが無い型（例：９９－２２）から導入し、各位どうしをひきざんするという基本をおさえます。それができてから、引く数に「０」が入るもの（例：９９－２０）、答えに０が入るもの（例：９９－２９）、位が欠けているもの（例：９９－２）を扱います。

そして次に、くり下がりのあるひき算です。各位をそろえ、下の位から順にひき算をしていきます。

タイルでやってみましょう。

33－17

⑤３ケタ以上の計算

★すべての計算問題を型分け

水道方式では、すべての計算問題を 型分け し、「一般型」から「特殊型」へ という順序で教えていくのが大きな特徴です。例えば３ケタのたし算は、教科書などでは、「500＋200」のようなものを先に教えます。水道方式では、「123＋455」のようなものを先にします。くり上がりがなく、全ての位に０でない数字がある。これを一般型として最初に導入します。

和が３ケタになるたし算は、おおざっぱに書くと次のような順序で学習します。

まず「一般型」をもってきて、各位どうしをたすということをおさえます。

和が３ケタになるたし算は、おおざっぱに書くと次のような順序で学習します。

まず「一般型」をもってきて、各位どうしをたすということをおさえます。そして、それぞれの型の中で、例えば、エ．（２回くり上がり）　ならば、

のように「位の欠けているもの」から「答に０が入るもの」へと順に学習します。

「０＋０＝０に決まっているからこれ以上簡単なたしざんはない」というのは大人の思い込み、子どもにはとても難しいのです。

子どもたちは０という数字が出てくると途端にわからなくなりますが、３＋５なら安心してたせますね。一ケタどうしのたしざんを、計算の最小のパーツで「素過程（そかてい）」といいました。上のアの型の場合、素過程自体が簡単なので３ケタになっても簡単、それで一般型になったのです。一般型ができればだんだん特殊な型へと流していきます。

ひき算についても同様に分類して、まずくり下がりがない一般型（例：９９９－２２２）から入っていきます。

このように型分けをしていると、苦手な型を取り出して練習できるのでとっても効率が良いのです。

３ケタ以上のたし算も各位をそろえ、下の位から順にたし算をしていきます。

タイルで考えれば計算の仕組みを目で確かめ納得できます。